„Die Materie muss kalt und zweidimensional sein“

Materie kann in verschiedenen Formen oder Phasen auftreten – Wasser etwa als Flüssigkeit oder Eis. Je nach Temperatur und Druck wechselt Wasser zwischen diesen Phasen und ändert dabei nicht nur seine physikalischen Eigenschaften, sondern auch sein Verhalten bezüglich Symmetrieoperationen: So bricht Eis etwa die kontinuierliche Rotations- und Translationssymmetrie des Raumes, flüssiges Wasser hingegen nicht.

Phasen von Materie

Doch längst nicht alle Phasenübergänge lassen sich durch ihre Symmetriebrechung charakterisieren. Ein Beispiel ist der in den frühen 1980er-Jahren entdeckte Quanten-Hall-Effekt in einem zweidimensionalen Elektronengas. Bei tiefen Temperaturen und einem starken Magnetfeld wächst die senkrecht zu einem Strom erzeugte Spannung hier nicht stetig mit dem Magnetfeld an, sondern stufenweise. Jede Stufe stellt dabei eine eigene Phase dar. Diese und weitere exotische Phänomene, die sich in zwei oder sogar nur einer Dimension abspielen, haben David J. Thouless von der University of Washington, F. Duncan M. Haldane von der Princeton University und J. Michael Kosterlitz von der Brown University erforscht – und mithilfe von mathematischen Modellen erklärt.

Dabei griffen die drei Nobelpreisträger auf das mathematische Konzept der Topologie zurück, mit dem sich Objekte klassifizieren lassen, die sich unter stetigen Verformungen nicht verändern. Einer Tasse und einem Donut könnte man etwa aufgrund des Lochs, durch das beide charakterisiert sind, die gleiche Topologie zuweisen. Denn Tasse und Donut ließen sich kontinuierlich ineinander verformen, nicht aber zu einer Kugel, denn dafür müsste das Loch geschlossen werden. Dieses Konzept übertrugen Thouless, Haldane und Kosterlitz unter anderem auf die Bandstruktur im zweidimensionalen Elektronengas und fanden so einen alternativen Zugang, um neuartige Phasen wie beim Quanten-Hall-Effekt zu beschreiben.

Diese neue Klasse von Phasen verspricht auch praktische Anwendungen – etwa als Baustein für einen fehlertoleranten Quantencomputer. Über die Physik hinter dem Nobelpreis sprachen wir mit Norbert Schuch vom Max-Planck-Institut für Quantenoptik in Garching.

Norbert Schuch

Welt der Physik: Was sind die Phasen von Materie?

Norbert Schuch: Dabei handelt es sich um verschiedene Zustände, beispielsweise fest, flüssig oder gasförmig, die Materie annehmen kann. Mit der Frage, warum das so ist – warum ist etwas manchmal flüssig und manchmal fest oder manchmal magnetisch und manchmal nicht – beschäftigen sich Wissenschaftler schon sehr lange. Dabei war die grundlegende Einsicht, dass das verstanden werden kann, wenn man sich die lokalen Eigenschaften des Systems anschaut, beispielsweise den Abstand zwischen zwei Atomen im System. Wenn man einen festen Stahlklotz auf mikroskopischer Skala anschaut, haben alle seine Atome einen festen Abstand zueinander, das ist ein Kristallgitter. Wenn der Stahl aber schmilzt, haben sie zueinander keinen festen Abstand mehr. Bei diesem Phasenübergang von fest nach flüssig ändert sich also eine lokale Eigenschaft.

Was hingegen sind topologische Phasen?

Topologische Phasen sind Phasen, bei denen genau das nicht der Fall ist. Topologische Phasen haben zwar auch eine Art von Ordnung – und auch das war schon eine Einsicht, dass da eben nicht nur Unordnung ist –, aber das sieht man nicht auf den ersten Blick. Sie sehen eigentlich ziemlich ungeordnet aus, weil sich da lokal nichts ausgerichtet hat. Der Name „topologisch“ rührt daher, dass es sich dabei um eine globale Eigenschaft des Systems handelt. Dabei spielt die Quantenmechanik eine große Rolle, weil es das in klassischen Systemen so nicht gibt. Hier organisiert sich das System aufgrund seiner quantenmechanischen Eigenschaften global. Bei topologischen Phasen ist der kollektive Zustand des Materials plötzlich anders: In einem solchen Quantensystem ist das Verhalten aller Teilchen zusammen mehr als die Summe aller einzelnen Teilchen. Man kann es nicht beschreiben, indem man sich die einzelnen Teilchen anschaut, es kommt auf die Beziehungen der Teilchen untereinander an.

Was sind topologische Materialien?

Es handelt sich dabei um exotische Materiezustände. Letztendlich handelt es sich immer um zweidimensionale Materialien, das ist ein wichtiger Punkt. Deshalb muss man immer etwas finden, das dünn genug ist oder eine Lagenstruktur besitzt. Dünne leitende Schichten, wie sie auch für den Quanten-Hall-Effekt verwendet werden, sind momentan am weitesten entwickelt. Die Hauptkriterien sind: Das Material muss kalt und sehr sauber sein. Verunreinigungen sind schlecht, weil sich die Teilchen ja global organisieren müssen, und solche Quantensysteme sehr anfällig gegenüber Verunreinigungen sind. Und je wärmer das System ist, desto klassischer wird es sich verhalten.

Topologie am Beispiel von Backwaren

Wo kommt die Topologie ins Spiel?

Im Wesentlichen beschreibt mathematisch gesehen die Geometrie die lokale Eigenschaft von Systemen. Die Topologie beschreibt hingegen die globalen Eigenschaften. Und hier geht es ja gerade um eine globale Organisation des Systems. Das System zeigt zum Beispiel am Rand Eigenschaften, die damit zu tun haben, was in seinem Inneren passiert und anders herum.

Was haben die drei Nobelpreisträger zu diesem Forschungsgebiet beigetragen?

Alle drei haben sehr früh sehr wichtige theoretische Beiträge geleistet und sind Pioniere auf diesem Gebiet: Sie haben die mathematischen Konzepte der Topologie auf diese exotischen Materiezustände angewendet. Und in den letzten zehn Jahren hat das ganze Feld experimentell einen sehr großen Schub erfahren, es wird langsam experimentell greifbar. Insgesamt ist es ein Forschungsfeld, das sehr stark wächst.

Der Nobelpreis wurde für die theoretischen Beiträge verliehen. Könnten sich daraus vielleicht auch praktische Anwendungen ergeben?

Der Großteil der Welt um uns herum ist nicht topologisch organisiert. Das ist ein Grund, warum Physik ohne topologische Phasen gut funktioniert hat. Eigentlich handelt es sich dabei um eine relativ kleine Nische, aber die Idee ist, dass es in dieser Nische Phänomene gibt, die ganz neue Technologien ermöglichen – beispielsweise, indem man mit topologischen Materialien Quantenspeicher bauen könnte, oder auch Quantencomputer. Das wird momentan sehr stark erforscht, ist aber derzeit noch Zukunftsmusik.