Selbstähnlichkeit bei der Tropfenbildung

Wenn es tropft, müssen auch mathematische Physiker tief in die theoretische Werkzeugkiste greifen: Die Idee der Selbstähnlichkeit hilft dabei, das Abschnüren von Tropfen vorherzusagen.

Nicht nur bei schlechtem Wetter finden sich Tropfen überall. Schaut man nur sorgfältig genug hin, so begleiten Tropfen jede Strömung mit freier Oberfläche. Anders als der Untersuchungsgegenstand fällt dessen theoretische Beschreibung dabei keineswegs vom Himmel. Denn die beteiligten Prozesse sind komplex und überfordern die Rechenmöglichkeiten heutiger Computer bei weitem. Umso wichtiger ist es, hier allgemeine Prinzipien zu entdecken, welche bei der Bildung von Tropfen wirken und sogar weitgehend unabhängig von der Art der Flüssigkeit sind.

Detail-Aufnahmen von Tropfen

Denn Tropfen halten längst wichtige technische Anwendungsfelder besetzt. So feiert zurzeit die Technik des Tintenstrahldruckens eine große Renaissance, da sie in sehr flexibler Weise die Erzeugung von Mikrostrukturen erlaubt. Ersetzt man etwa die Tinte durch Lötzinn, so kann man Mikroprozessorschaltungen drucken, und in der Biotechnologie kann man tausende mit DNA gefüllte Wassertropfen parallel analysieren, die eben mit Hilfe der Drucktechnik auf eine Oberfläche gespritzt wurden. Alle diese Techniken beruhen wesentlich auf der Fähigkeit, Tropfen einheitlicher Größe herstellen zu können.

In der Regel kommen Tropfen jedoch in den unterschiedlichsten Größen daher. So ist der Nebel über Wasserfällen wie etwa dem Rheinfall von Schaffhausen aus Tropfen zusammengesetzt, die klein genug sind, um dauerhaft in der Luft zu schweben. Eine der Ursachen für dieses breite Spektrum an Tropfengrößen wurde bereits 1833 von Felix Savart beschrieben, der am Collège de France in Paris arbeitete. Der Arzt und Physiker beobachtete die regelmäßige Bildung von Tropfen und fand dabei heraus, dass sich zwischen zwei Haupttropfen immer ein weiterer, sehr viel kleinerer „Satellitentropfen“ befindet.

Bildung eines Satellitentropfens

Savarts Beobachtungen stellten eine zur damaligen Zeit erstaunliche Leistung dar, da die Ablösung eines Wassertropfens nur etwa eine hundertstel Sekunde dauert. Um dennoch sichtbar zu machen, was jenseits der zeitlichen Auflösung des unbewaffneten Auges liegt, nutzte Savart die Regelmäßigkeit des Vorgangs. Er konstruierte dazu einen speziellen Apparat, der im Wesentlichen aus einem endlosen Stoffband bestand, das mit abwechselnd schwarzen und weißen Streifen bemalt war. Beobachtet man einen Strahl aus Tropfen vor dem Hintergrund des Bandes, so entspricht dies einer periodischen Beleuchtung. Passt man nun die Geschwindigkeit des Bandes so an, dass die Beleuchtung der Frequenz entspricht, mit der neue Tropfen gebildet werden, so erscheint vor dem Auge des Beobachters ein stehendes Bild.

Mittlerweile sind Aufnahmen von noch feinerer Auflösung möglich. Im Rahmen eines Studienprojekts unter der Anleitung von Professor Howell Peregrine (University of Bristol) wurde eine detaillierte Abfolge von Photographien erstellt, welche die Bildung eines Satellitentropfens zeigt. Dabei ließ man Wasser langsam aus einer Röhre tropfen, bis die Schwerkraft die Kohäsionskräfte überwindet und ein Tropfen zu fallen beginnt. Kurz danach gewinnt die Oberflächenspannung wieder an Bedeutung und schnürt den Tropfenhals vollständig über dem Tropfen zusammen. Doch bevor der Flüssigkeitshals Gelegenheit hat, sich vollständig zurückzuziehen, schnürt er sich am anderen Ende ein zweites Mal ab, und bildet so einen weiteren Tropfen, den Satellitentropfen.

Vergleich Berechnungen mit dem Experiment

Der Satellitentropfen ist demnach das Überbleibsel des länglichen Halses, der sich direkt an den Haupttropfen anschließt und ist daher eine unmittelbare Folge des Profils der Oberfläche, das sich um den Abrisspunkt herum gebildet hat: zum Tropfen hin ist es sehr steil, auf der anderen, dem Tropfen abgewandten Seite ist es sehr flach. Dieses Profil lässt sich erklären, wenn man die Dynamik in der Nähe des Abschnürpunktes betrachtet. Die Flüssigkeitsbewegung ist dort durch eine immer kleiner werdende Längenskala charakterisiert, die schließlich – wie der sich einschnürenden Halsradius – ganz verschwindet. Dies bedeutet, dass die Form des Halsprofils sich im Laufe der Zeit nicht ändert – durch entsprechende Vergrößerung kann man alle Profile genau zur Deckung bringen. Die Profile sind also selbstähnlich, genau wie es bei Fraktalen der Fall ist. Die theoretischen Überlegungen zur Selbstähnlichkeit lassen sich experimentell bestätigen – etwa im Beispiel einer Mischung aus Wasser und Glyzerin (siehe Bild).