Äquivalenz von Energie und Masse

Die Formel \(\boldsymbol{E = mc^2}\) spielt nicht nur für Physiker eine wichtige Rolle. So basiert zum Beispiel die Energie der Sonne und damit die Grundlage unseres Lebens auf diesem Zusammenhang, und auch der Strom aus Atomkraftwerken wäre ohne die Äquivalenz von Energie und Masse undenkbar.

\(E = mc^2 \) ist eine der wohl bekanntesten Gleichungen der modernen Physik. Sie findet sich längst nicht mehr nur in Fachbüchern, sondern ziert Briefmarken oder T-Shirts und diente sogar als Vorlage für eine Skulptur. Jüngst ist diese Formel hundert Jahre alt geworden: Einstein hat sie in seinem Wunderjahr 1905 entdeckt und als fünfte seiner bahnbrechenden Arbeiten veröffentlicht – auf nur drei Seiten.

Zum Einsteinjahr 2005

 Die Gleichung \(E = mc^2 \) verknüpft die Masse m eines Körpers – wie man sie zum Beispiel mit einer Küchenwaage im Gravitationsfeld der Erde messen kann und in Kilogramm (kg) angibt – mit der dieser Masse äquivalenten Energie E, wie man sie in Form von elektrischer Energie, Verbrennungsenergie zum Heizen, Bewegungsenergie und so weiter verwendet und in Joule (J) oder Kilowattstunden (kWh) angibt und bezahlen muss. c steht für die Lichtgeschwindigkeit, eine der universellen Naturkonstanten, die in recht guter Näherung 300.000 Kilometer pro Sekunde beträgt.

Äquivalent heißt, dass eine jede Masse m einer wohlbestimmten Energie E entspricht, aber ebenso auch, dass jede Energie E einer wohlbestimmten Masse m entspricht. Leuchtet beispielsweise eine Lampe mit einer Leistung von 20 Watt eine Stunde lang, so wäre die von ihr verbrauchte Energie einer Masse von 8 × 10^-13 kg gleich; dieser Betrag mag uns zwar winzig erscheinen, aber ein Wasserstoffatom zum Beispiel bringt viel, viel weniger auf die Waage, nämlich gerade einmal 1,67 × 10^-27 kg. Selbst ein Uranatom wiegt nur 395 × 10^-27 kg.

Energiereiche Münzen 

Die für uns alltäglichen Massen m dagegen entsprechen gewaltigen Energien: So wiegt ein Euro-Stück zwar gerade einmal sieben Gramm beziehungsweise 7 × 10^-3 kg. Nach Einsteins Energie-Masse-Beziehung \(E=mc^2 \) wäre diese Münze einer Energie von 6,3 × 10¹⁴ J äquivalent! Zum Vergleich: Der gesamte Energieverbrauch der Bundesrepublik an einem Durchschnittstag hat die Größenordnung von 40 Petajoule, also 40 × 10¹⁵ J. Somit bräuchte es nur sechzig in Energie „umgesetzte“ Eineuromünzen täglich (oder rund 75 Millionstel Eurocent pro Einwohner pro Tag) und alle konventionellen Kraftwerke könnten abgeschaltet werden – vorbei mit der Öl-, Gas- und Kohleabhängigkeit.

Kernkraftwerk Grafenrheinfeld

Aber wie kann man diese Energie freisetzen? Wäre das so einfach möglich, hätte die Energie eines Eurostücks schier entsetzliche und menschheitsvernichtende Zerstörungskraft. Aber, die Natur hat es wunderbar weise eingerichtet: Während die in Explosivstoffen steckende chemische Energie durch Zünden relativ leicht freigesetzt werden kann, gelingt die Umsetzung der Massenenergie \(E=mc^2\) nur mittels atomarer Prozesse und makroskopisch dann auch nur partiell, beispielsweise durch Atomstöße bei hoher Bewegungsenergie, bei Zerstrahlung von Elektronen, Mesonen und anderen Elementarteilchen, bei der Fusion von Protonen und Neutronen zu schwereren Kernen, bei der Spaltung von sehr schweren Kernen wie etwa dem Uran oder Plutonium sowie bei anderen atomaren oder subatomaren Prozessen; einiger wissenschaftlicher und/oder technischer Aufwand ist also nötig.

Im Labor ist das heute zwar Alltag, für Missbrauch – etwa in Form von zerstörerischen Waffen – allerdings ungeeignet. Denn die Einzelprozesse sind makroskopisch unbedeutend, die dabei freigesetzte Energie ist winzig. Das oben genannte Wasserstoffatom beziehungsweise das Proton liefert gerade einmal 1,5 × 10^-10 J oder 4,2 × 10^-17 KWh. Selbst ein Uranatom würde nur 3,6 × 10^-8 J oder etwa 10^-14 kWh ergeben. Und ein zerstrahltes Elektron (circa 10^-30 kg schwer) steuert zu unserem Heizofen mal gerade 8,2 × 10^-14 J bei. Aber die Menge macht’s! Ein Kilogramm Uran besteht aus der gewaltigen Anzahl von etwa 2,5 × 10²⁴ Atomen. Deren gesamtes Energieäquivalent beläuft sich auf 10¹⁷ J – der gesamte tägliche Energieverbrauch Deutschlands wäre durch weniger als ein halbes Kilogramm Uran gesichert, wenn wir diese Massenenergie freisetzen könnten.

Quelle der Wärme und des Lebens

Die Sonne hat eine Leuchtkraft von 3,8 × 10²⁶ Watt. Sie strahlt also in jeder Sekunde eine Energie von 3,8 × 10²⁶ J ab. Nach der Energie-Masse-Äquivalenz verliert die Sonne dadurch 4,2 Millionen Tonnen an Masse! In jeder Sekunde! Und doch: Was ist das schon angesichts der heutigen Sonnenmasse von rund 2 × 10³⁰ kg? Über Milliarden Jahre könnte das noch mit heutiger Intensität so weitergehen. 

Woher nimmt die Sonne diese Strahlungsenergie? Die Gravitationsenergie erweist sich als viel zu klein, nicht ausreichend. Chemische Reaktionen, etwa das Verbrennen von Kohle, können es auch nicht sein – unter anderem, weil bei der Sonnentemperatur von mehreren Millionen Grad alle Atome vollständig ionisiert sind, also chemische Prozesse gar nicht mehr stattfinden. Eine Erklärung bietet die durch Fusion von Atomkernen freigesetzte Energie. 

Blick ins Innere der Sonne

Wegen des großen Anteils von ionisiertem Wasserstoff in der Sonne, also von Protonen, wäre deren Verschmelzung zu Helium der wichtigste Fusionsprozess. Die beiden Physiker Subrahmanyan Chandrasekhar und Hans Bethe entwickelten in den 1930er Jahren den zugehörigen Mechanismus, die sogenannte Proton-Proton-Reaktion. Die weitere Verschmelzung von Helium zu Kohlenstoff – nach ihren Entdeckern Bethe-Weizsäcker-Zyklus genannt – liefert einen zurzeit nur kleinen Zusatzbeitrag. In unterschiedlichen Fusionsreaktionen, bei denen auch Neutronen entstehen, verschmelzen, vereinfacht gesagt, vier Protonen mit einer Gesamtmasse von vier mal 1,673 × 10^-27 kg, also 6,692 × 10^-27 kg, zu einem Heliumkern. Vereinfacht ist das insofern, als aus zwei der fusionierenden Protonen durch Abstrahlung von Positronen noch Neutronen werden, besteht ein Heliumkern doch aus zwei Protonen und zwei Neutronen.    

Der Heliumkern besitzt eine Masse von 6,647 × 10^-27 kg und damit verblüffender Weise eine etwas kleinere Masse als die vier Protonen zusammen, aus denen er entstanden ist. Die nach der Fusion fehlende Masse, der sogenannte Massedefekt, beträgt in diesem Fall \(\Delta m =\) 0,044 × 10^-27 kg. Bei der Fusion von vier Protonen zu einem Heliumkern wird demnach insgesamt eine Energie von \(\Delta E=\Delta m\; c^2 =\) 3,96 × 10^-12 J freigesetzt. In einem für Kernphysiker gebräuchlicherem Energiemaß sind das 24,7 Megaelektronenvolt (MeV) beziehungsweise pro Nukleon 6,18 MeV. In der Sonne geschehen solche Fusionen in jeder Sekunde etwa 10³⁸-mal! 

All diese Zahlen sind unvorstellbar winzig oder erdrückend riesig, quasi „außerirdisch“. Denn weder die Welt der Atomkerne noch die der Sonne passen in das menschliche Erdenmaß. Die Physik kann aber damit umgehen. Während bei der Verschmelzung, also Fusion, leichter Kerne Energie gewonnen wird, ist das bei schweren Atomkernen nicht mehr der Fall. Diese enthalten nämlich zunehmend mehr Protonen, sind also zunehmend positiv geladen. Durch die deshalb immer stärkere gegenseitige elektrische Abstoßung werden die schwereren Kerne instabil.

Kernspaltung und Kettenreaktion

Am stärksten gebunden sind die mittelgroßen Atomkerne, etwa der Eisenkern ⁵⁷Fe mit einer Bindungsenergie von ungefähr 8,77 MeV pro Nukleon. Der viel schwerere Urankern ²³⁵U verfügt nur noch über eine Bindungsenergie von 7,59 MeV pro Nukleon. Spaltet ²³⁵U durch Beschuss mit einem Neutron beispielsweise in Barium ¹⁴²Ba, Krypton ⁹²Kr und zwei Neutronen, so hat man einen Massenverlust von \( \Delta m\) = (390,300 + 1,675) – (235,658 + 152,647 + 2 × 1,675) = 391,975 – 391,655 = 0,321, alle Zahlen in Vielfachen von 10^-27 kg. Dieser Masseverlust führt zu einem Energiegewinn von  

\( \Delta E = \Delta m\; c^2 =  2,88 \times 10^{-11}\;\text{J}\) 

Bindungsenergie pro Nukleon

Bei der Reaktion entstehen außer dem Energiegewinn netto auch zwei zusätzliche Neutronen. Diese können zur Wiederholung eines Spaltungsprozesses mit einem neuen ²³⁵U-Kern führen, zu einer sogenannten Kettenreaktion. Nach Spaltung aller 2,6 × 10²¹ Atome eines Gramms Uran ²³⁵U gewinnt man somit 7,5 × 10¹⁰ J oder rund 20.000 kWh beziehungsweise 20 MWh. Dieselbe Energie liefert ein Kohlekraftwerk mit einer typischen Leistung von 1000 MW in 1,2 Minuten – und ein modernes
2,2-MW-Windrad in neun Stunden. 

Betrachtet man die Elementarprozesse bei der Fusion leichter Kerne oder bei der Spaltung sehr schwerer Kerne, fällt der Energiegewinn ungefähr gleich – gleich winzig – aus. Und in beiden Fällen wird die Masse nur teilweise in Energie umgesetzt. Wieder macht es die riesige Zahl beteiligter Atome, die zu einem insgesamt sehr großen Energiegewinn führt. Die technische Durchführung im Fusionsreaktor der Zukunft oder im Kern-(spaltungs-)Reaktor der Gegenwart ist allerdings sehr unterschiedlich – unterschiedlich schwierig, mit unterschiedlichen Nebenwirkungen durch Radioaktivität. Die Sonne aber erledigt das fern der Erde mit für uns lebensspendendem Erfolg und gefahrlos. Zugrunde liegt in allen Fällen die so einfache Masse-Energie-Äquivalenz \(E = mc^2 \)! 

In einem vertiefenden Artikel erfahren Sie, wie sich diese Gleichung mit ein bisschen Nachdenken aus der relativistischen Physik ableiten lässt.