Wie spielentscheidend sind rote Karten?

Fängt sich ein Spieler eine rote Karte ein, fliegt er nicht nur für das aktuelle Spiel raus und schwächt seine Mannschaft. Auch im Folgespiel muss das Team auf seine Leistung verzichten. Wie stark schwächt ein Ausfall eines Fußballspielers seine Mannschaft wirklich?

Maße des Fußballfeldes

Diese Frage könnte natürlich sofort mit „Um 10 Prozent!“ beantwortet werden, da einer von zehn Feldspielern ausscheidet, und 1/10 = 10 Prozent ist. Doch ist es wirklich so einfach?

Zunächst soll ein Zusammenhang zwischen der Zahl der Feldspieler einer Mannschaft und der Größe des Spielfeldes hergestellt werden. Das Spielfeld mit seinen Ausmaßen ist in der Abbildung links.

Interessant ist, dass es gar keine Regel gibt, wie groß ein Spielfeld genau sein muss. Allerdings ist heutzutage eine Fläche von A = 7000 m² ein realistischer Wert. Nun soll eine bestimmte Zahl N von Feldspielern gleichmäßig auf dieses Spielfeld verteilt werden. Angenommen jeder Feldspieler hat einen „Aktionsradius“ von d, d.h. er überbrückt diese Strecke in einer vorgegebenen Zeit, dann kann die Spielfläche A mit N Quadraten der Seitenlänge 2d überdeckt werden. Der Aktionsradius ist aus Gründen der Einfachheit hier nicht wirklich ein Radius, aber das ist nicht weiter wichtig. Das Überdecken der Spielfläche geschieht also wie in der Abbildung rechts für N = 24 Feldspieler angedeutet.

Spieleranzahl und Spielgeschwindigkeit

Es ist nun leicht zu erkennen, dass sich der Zusammenhang \( A=N \cdot (2d^2) \) für die Spielfläche und die Zahl der Feldspieler ergibt. Diese Formel kann, wie oben in der Graphik gezeigt, nach dem Aktionsradius d umgestellt werden. Der Aktionsradius d hängt also von der Quadratwurzel aus dem Verhältnis der Spielfläche A und der Spieleranzahl N ab. Wenn der Aktionsradius durch die Geschwindigkeit v_Spieler des Spielers und mit der Zeit T_Spieler ausgedrückt wird, die ein Spieler benötigt, um „seine Fläche“, wie oben in der Graphik angedeutet, zu kontrollieren, dann ergibt sich:

$$ T_{\textrm{Spieler}} = \frac{d}{v_{\textrm{Spieler}}}. $$

Für d kann der Zusammenhang mit der Spielfläche und Spielerzahl eingesetzt werden mit dem Ergebnis:

$$  T_{\textrm{Spieler}} = \frac{(A/N)^{½}}{2v_{\textrm{Spieler}}} $$

Die Grafik links veranschaulicht die Formel. Aufgetragen ist die Aktionszeit T_Spieler gegen die Zahl der Feldspieler für A = 7000 m² und v_Spieler = 16 km/h (Geschwindigkeit eines Mittelfeldspielers).

Abspielzeit pro Spieler

Was bedeutet nun diese Formel? Sie zeigt uns auch an, wie schnell ein Spieler sein muss, damit er bei einer vorgegebenen Größe eines Spielfeldes und einer Spielerzahl seinen Aktionsradius in der errechneten Zeit T_Spieler erreicht. Sind weniger Spieler auf dem Feld, dann wird die Zeit T_Spieler größer, weil N im Nenner der Formel steht. Dies ist ebenfalls in der Abbildung zu sehen. Da aber auch v_Spieler im Nenner der Formel steht, kann dies also durch eine größere Geschwindigkeit der Spieler wettgemacht werden. Weil aber im Nenner der Formel die Spielerzahl unter der Quadratwurzel steht und die Geschwindigkeit nicht, folgt, dass beide Einflüsse nicht gleich sind. In der Tat ergibt die Berechnung, dass wenn das Verhältnis der Spieler auf dem Feld sich um \( \frac{\Delta N}{N} \) ändert dies wie eine halbe Änderung der Geschwindigkeit \( \frac{\Delta v}{v_{\textrm{Spieler}}} \) wirkt (siehe die Formel in der Abbildung oben). Wenn sich also die Zahl der Spieler um \( \frac{\Delta N}{N} = 10\%\) verringert, dann müssen die verbleibenden Feldspieler nur um jeweils \( \frac{\Delta v}{v_{\textrm{Spieler}}} = 5\% \) schneller rennen, um das Spielfeld genauso wie vorher abzudecken!

Nun kann eingewendet werden, dass sich ja niemals alle Feldspieler gleichmäßig auf dem Fußballplatz verteilen und auch alle nicht gleich schnell sind. Das ist klar. Die Betrachtungen sollten auch nur ein grobes Gefühl für die Zusammenhänge vermitteln. Trotzdem zeigen diese Überlegungen, dass eine Fußballmannschaft im Durchschnitt durch den Ausfall eines Spielers nicht so stark geschwächt wird, wie man zunächst vermuten könnte. Anstelle der sofort geschätzten 10 Prozent ist es so, dass alle Spieler nur 5 Prozent mehr geben müssen, um den Verlust des Spielers zu kompensieren!

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